Directe produkten

In het vorige stukje hebben we gezien dat de de Hamiltoniaan-eigenfuncties in het algemeen afhangen van meer dan een coördinaat. Stel dat we een functie $\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ van de plaats van twee deeltjes (1) en (2) hebben, en dat we die functie kunnen schrijven als een produkt van twee functies die ieder van de plaats van maar één deeltje afhangt:

$$\psi(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2) = \phi(\mathbf{r}_1)\chi(\mathbf{r}_2) .$$ (35)

We kunnen dit dan noteren in direkt produkt notatie als

$$\psi = \phi \otimes \chi .$$ (36)

Wat bedoelen we hier nu eigenlijk mee? Neem aan dat we vectoren $\vec{v}$ hebben, die leven in een lineaire ruimte van dimensie n, en vectoren $\vec{w}$ in een (niet noodzakelijk dezelfde) ruimte van dimensie m. Dan vormen alle lineaire combinaties van paren $\vec{v} \otimes \vec{w}$ die voldoen aan

1.

$(c\vec{v}) \otimes \vec{w} = \vec{v} \otimes (c\vec{w}) = c(\vec{v} \otimes \vec{w})$,

2.

$\vec{v} \otimes (\vec{w} + \vec{w}') = \vec{v} \otimes \vec{w} + \vec{v} \otimes \vec{w}'$, en

3.

$(\vec{v} + \vec{v}') \otimes \vec{w} = \vec{v} \otimes \vec{w} + \vec{v}' \otimes \vec{w}$,

een lineaire ruimte van dimensie $n \times m$. Met andere woorden, de $\psi$ uit vgl. (36) leeft dan ook in een lineaire ruimte, en is dus ook een vector. Als nu $\{\vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n\}$ een basis is voor de eerste vectorruimte, en $\{\vec{f}_1,\ldots,\vec{f}_m\}$ een basis voor de tweede ruimte⁶, dan vormt de verzameling

$$\{\vec{e}_i \otimes \vec{f}_j,\ i=1\dots n,\ j=1\ldots m\}$$

een basis voor de produktruimte. Het eerstvolgende dat we dan willen doen op de nieuwe lineaire ruimte is het maken van een inprodukt. Dit kan gedefinieerd worden in termen van de inprodukten van de lineaire ruimtes waar één-deeltjes functies in leven:

$$\langle{\vec{v} \otimes \vec{w}}\vert{\vec{v}' \otimes \vec... ...vert{\vec{v}'}\rangle \langle{\vec{w}}\vert{\vec{w}'}\rangle .$$ (37)

Nu we een basis en een inprodukt hebben gedefinieerd op de produkt ruimte kunnen we een willekeurige vector $\vec{x} = \vec{v} \otimes \vec{w}$ expanderen in deze basis. Hiertoe gaan we op exact dezelfde manier te werk als in hoofdstuk 3:

$$\vec{x} = \vec{v} \otimes \vec{w} = \sum_{ij} c_{ij} \vec{e}_i \otimes \vec{f}_j ,$$ (38)

neem aan beide kanten het inprodukt met $\vec{e}_k \otimes \vec{f}_l$, zodat

$$\langle{\vec{e}_k \otimes \vec{f}_l}\vert{\vec{v} \otimes \ve... ... \vec{f}_l}\vert{\vec{e}_i \otimes \vec{f}_j}\rangle c_{ij} ,$$ (39)

definieer de kolomvector x met elementen

$$x_{kl} = \langle{\vec{e}_k \otimes \vec{f}_l}\vert{\vec{v} \o... ...k}\vert{\vec{v}}\rangle\langle{\vec{f}_l}\vert{\vec{w}}\rangle,$$

zet de coeëfficiënten c_ij onder elkaar in een vector c, en definieer de overlap matrix S met elementen

$$S_{kl,ij} = \langle{\vec{e}_k \otimes \vec{f}_l}\vert{\vec{e_... ...ert{\vec{e}_i}\rangle\langle{\vec{f}_l}\vert{\vec{f}_j}\rangle,$$

dan krijgen we precies dezelfde matrix vergelijking als vgl. (7):

Sc = x . (40)

Ook voor operatoren is alles precies analoog. Als $\hat{A}$ een operator is op de eerste één-deeltjes ruimte, en $\hat{B}$ een operator op de tweede ruimte dan is $\hat{A} \otimes \hat{B}$ een operator op de produktruimte, met als werking

$$(\hat{A} \otimes \hat{B}) (\vec{v} \otimes \vec{w}) = (\hat{A}\vec{v}) \otimes (\hat{B}\vec{w}) .$$ (41)

De Hermitisch geconjugeerde van een dergelijke operator kunnen we berekenen door te kijken naar de definitie:

$$\langle{\vec{v} \otimes \vec{w}}\vert{(\hat{A} \otimes \hat{B... ...{v} \otimes \vec{w})}\vert{\vec{v}' \otimes \vec{w}'}\rangle .$$ (42)

Uitwerken van de linkerkant van deze vergelijking geeft

$$\langle{\vec{v} \otimes \vec{w}}\vert{(\hat{A} \otimes \hat{B})(\vec{v}' \otimes \vec{w}')}\rangle \langle{\vec{v} \otimes \vec{w}}\vert{(\hat{A}\vec{v}') \otimes (\hat{B}\vec{w}')}\rangle$$ =

$$\langle{\vec{v}}\vert{\hat{A}\vec{v}'}\rangle\langle{\vec{w}}\vert{\hat{B}\vec{w}'}\rangle$$ =

$$\langle{\hat{A}^\dagger\vec{v}}\vert{\vec{v}'}\rangle \langle{\hat{B}^\dagger\vec{w}}\vert{\vec{w}'}\rangle$$ =

$$\langle{(\hat{A}^\dagger \otimes \hat{B}^\dagger) (\vec{v} \otimes \vec{w})}\vert{\vec{v}' \otimes \vec{w}'}\rangle ,$$ = (43)

en aangezien dit geldt voor willekeurige $\vec{v}$'s en $\vec{w}$'s schrijven we

$$(\hat{A} \otimes \hat{B})^\dagger = \hat{A}^\dagger \otimes \hat{B}^\dagger.$$ (44)

Ook vermenigvuldigen van twee produktoperatoren is simpel genoeg. Omdat voor willekeurige $\vec{v}$ en $\vec{w}$ geldt

$$(\hat{A} \otimes \hat{B}) (\hat{C} \otimes \hat{D}) (\vec{v} \otimes \vec{w}) (\hat{A} \otimes \hat{B}) [(\hat{C}\vec{v}) \otimes (\hat{D}\vec{w})]$$ =

$$(\hat{A}\hat{C}\vec{v}) \otimes (\hat{B}\hat{D}\vec{w})$$ =

$$(\hat{A}\hat{C} \otimes \hat{B}\hat{D}) (\vec{v} \otimes \vec{w}) ,$$ = (45)

kunnen we schrijven $(\hat{A} \otimes \hat{B}) (\hat{C} \otimes \hat{D}) = \hat{A}\hat{C} \otimes \hat{B}\hat{D}$. De matrix van het operatorprodukt $\hat{A} \otimes \hat{B}$ wordt op dezelfde manier als in hoofdstuk 4 gedefinieerd, nl. door het inprodukt te nemen van de basisvectoren met het beeld van de basisvectoren. Dus voor de elementen van de produkt matrix $\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}$ schrijven we

$$\begin{eqnarray*}(A \otimes B)_{kl,ij} & = & \langle{\vec{e}_k \otimes \vec{f}... ...vec{f}_l}\vert{\hat{B}\vec{f}_j}\rangle\\ & = & A_{ki}B_{lj} , \end{eqnarray*}$$

waarbij A de representatie van $\hat{A}$ ten opzichte van de basis $\{\vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n\}$ is, en B de representatie van $\hat{B}$ ten opzichte van $\{\vec{f}_1,\ldots,\vec{f}_m\}$. Bedenk nu zelf hoe de matrix eigenwaarde vergelijking (17) er voor $\hat{A} \otimes \hat{B}$ er in de basis $\{\vec{e}_i \otimes \vec{f}_j\}$ uit ziet.

Tenslotte: het gehele hierboven beschreven proces kan natuurlijk gemakkelijk gegeneraliseerd worden tot systemen van meer deeltjes, door het directe produkt te nemen van de produktfunctie $\psi = \phi \otimes \chi$ met een derde, een vierde. enz. één-deeltjes functie.