... basisvectoren¹

Immers, als er een vector is waarvoor dat niet geldt, is deze lineair onafhankelijk van de basisvectoren, en hebben we dus n+1 lineair onafhankelijke vectoren. Maar dan is dim(V) > n, zodat de verzameling $\{\vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n\}$ geen basis voor V vormt.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... oplossing²

De vraag is dan: is S wel inverteerbaar? Dat dit zo is kunnen we inzien door te bedenken dat als dat niet zo is, S singulier is, en dat er dan dus minstens één vector $\mathbf{x} \ne \mathbf{0}_{n \times 1}$ bestaat waarvoor geldt dat $\mathbf{Sx} = \mathbf{0}_{n \times 1}$. Maar dan geldt $\mathbf{x}^\dagger\mathbf{Sx} = 0$, ofwel $\sum_{ij} x_i^* \langle{\vec{e}_i}\vert{\vec{e}_j}\rangle x_j = \langle{\sum_i x_i\vec{e}_i}\vert{\sum_j x_j\vec{e}_j}\rangle = 0$, en uit de eisen voor het inprodukt volgt dan dat de vector $\sum_i x_i\vec{e}_i = \vec{0}$. Maar dan zijn de vectoren $\{\vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n\}$ dus lineair afhankelijk, wat in tegenspraak is met het feit dat deze een basis vormen. Dus is S regulier, en dus inverteerbaar.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... afgebeeld.³

Want $\hat{A}\vec{x} = \hat{A}(\vec{x}+\vec{0}) = \hat{A}\vec{x} + \hat{A}\vec{0}$ voor willekeurige $\vec{x} \in V$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... is.⁴

Als de determinant van $\mathbf{A}-\lambda\mathbf{S}$ niet nul is, is deze matrix inverteerbaar. Dan kunnen we dus beide zijden van de vergelijking vermenigvuldigen met die inverse, zodat

$$(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{S})^{-1}(\mathbf{A}-\lambda\mathbf... ... = (\mathbf{A}-\lambda\mathbf{S})^{-1}\mathbf{0}_{n \times 1} ,$$

ofwel $\mathbf{c} = \mathbf{0}_{n \times 1}$.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...$\lambda_i,\ i=1 \ldots n.$⁵

Merk op dat twee eigenwaarden hetzelfde kunnen zijn, en dat de eigenwaarden voor een willekeurige operator niet noodzakelijk reëel hoeven zijn.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... ruimte⁶

In veel gevallen zijn de twee verzamelingen $\{\vec{e}_i\}$ en $\{\vec{f}_j\}$ gelijk, bijvoorbeeld in het geval dat we het ruimtelijk deel van een twee-elektron golffunctie willen schrijven als een direct produkt van (één-elektron) orbitalen. Dit hoeft echter niet het geval te zijn, als we bijvoorbeeld baan- en spindeel van een golffunctie vermenigvuldigen construeren we een direct product tussen een vector uit de baanruimte en een vector uit de spinruimte.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...ofwel⁷

Strict genomen is dit natuurlijk niet waar: aangezien $\Psi$ complex is, gaat vgl. (60) op als $\Psi(\phi+2\pi) = c\Psi(\phi)$ voor elke willekeurige c op de complexe eenheidscirkel.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... laten.⁸

Daarbij moeten we natuurlijk wel een beetje opppassen dat we geen lineaire afhankelijkheden introduceren. Immers als we eerst N basis functies hadden, en we laten zowel $\hat{1} + \hat{A}$ als $\hat{1} - \hat{A}$ los op deze basis, dan krijgen we 2N nieuwe functies terug. Als de ruimte eindig dimensionaal is, zijn dat er dus altijd meer dan het grootste aantal lineair onafhankelijke vectoren. Merk op dat lineaire afhankelijkheden alleen kunnen optreden binnen een verzameling functies met dezelfde symmetrie, deze staan immers loodrecht op alle functies met de andere symmetrie.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.