Lineaire afbeeldingen, operatoren, eigenwaarden en eigenvectoren

Een lineaire afbeelding $\hat{A}$ van een lineaire ruimte V naar een lineaire ruimte W is een functie, die gegeven een vector uit V een vector uit W oplevert, en die voldoet aan de volgende regels:

1.

$\hat{A}(\vec{x} + \vec{y}) = \hat{A}\vec{x} + \hat{A}\vec{y}$,

2.

$\hat{A}(c\vec{x}) = c(\hat{A}\vec{x})$.

Een lineaire afbeelding van V naar zichzelf noemen we ook wel een operator. Het produkt van twee operatoren definiëren we door zijn werking op een willekeurige vector

$$(\hat{A}\hat{B})\vec{x} = \hat{A}(\hat{B}\vec{x}).$$ (11)

Merk op dat de nulvector in V altijd op de nulvector in W wordt afgebeeld.³

Stel, we hebben een operator $\hat{A}$ op een lineaire ruimte V. Als er dan een vector $\vec{v} \ne \vec{0}$ en een getal $\lambda$ bestaan, zodanig dat

$$\hat{A}\vec{v} = \lambda\vec{v} ,$$ (12)

dan noemen we $\vec{v}$ een eigenvector van $\hat{A}$, en $\lambda$ de bijbehorende eigenwaarde. Als $\vec{v}$ een eigenvector van $\hat{A}$ met eigenwaarde $\lambda$ is, is elke vector $c\vec{v}$ met willekeurige $c \ne 0$ dat ook, want

$$\hat{A}(c\vec{v}) = c(\hat{A}\vec{v}) = c(\lambda\vec{v}) = (c\lambda)\vec{v} = (\lambda c)\vec{v} = \lambda(c\vec{v}) .$$ (13)

Sterker nog, als $\vec{v}$ en $\vec{w}$ twee eigenvectoren van $\hat{A}$ zijn bij dezelfde eigenwaarde $\lambda$, dan is elke lineaire combinatie $c\vec{v} + d\vec{w}$ van deze twee vectoren dat ook:

$$\hat{A}(c\vec{v} + d\vec{w}) = \hat{A}(c\vec{v}) + \hat{A}(... ...\vec{v}) + \lambda(d\vec{w}) = \lambda(c\vec{v} + d\vec{w}) .$$ (14)

Voor het bepalen van de $\lambda$'s en $\vec{v}$'s waarvoor vgl. (12) waar is, hebben we (wederom) het inprodukt op V nodig. Als de verzameling $\{\vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n\}$ een basis voor V is, dan weten we dat we de vector $\vec{v}$ kunnen schrijven als een lineaire combinatie van basisvectoren: $\vec{v} = \sum_i c_i\vec{e}_i$. Vullen we dit in in vgl. (12), dan staat er

$$\hat{A}\sum_i c_i\vec{e}_i = \sum_i c_i(\hat{A}\vec{e}_i) = \lambda \sum_i c_i \vec{e}_i .$$ (15)

Nemen we weer het inprodukt met een willekeurige basisvector $\vec{e}_j$, dan kunnen we dit dus herschrijven tot

$$\sum_i \langle{\vec{e}_j}\vert{\hat{A}\vec{e}_i}\rangle c_i... ...\lambda \sum_i \langle{\vec{e}_j}\vert{\vec{e}_i}\rangle c_i .$$ (16)

Als we de expansiecoëfficiënten c_i weer in een kolomvector c schikken, ons de definitie van de matrix S herinneren, en de matrix A definiëren met elementen $A_{ji} = \langle{\vec{e}_j}\vert{\hat{A}\vec{e}_i}\rangle$:

$$\mathbf{A} = \left( \begin{array}{ccc} \langle{\vec{e}_1}... ...ec{e}_n}\vert{\hat{A}\vec{e}_n}\rangle \end{array} \right) ,$$

dan kunnen we vgl. (16) herschrijven tot de matrix vergelijking

$$\mathbf{Ac} = \lambda\mathbf{Sc} ,$$ (17)

ofwel

$$(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{S})\mathbf{c} = \mathbf{0}_{n\times 1} .$$ (18)

Dit geeft alleen een niet-triviale (triviaal: $c_1 = \ldots = c_n = 0$) oplossing als de determinant van $\mathbf{A}-\lambda\mathbf{S}$ nul is.⁴ Dan kunnen we dus die waarden van $\lambda$ zoeken waarvoor de determinant nul is. Uitschrijven van de determinant levert een n-de graads polynoom op, en er bestaan dus n eigenwaarden $\lambda_i,\ i=1 \ldots n.$⁵ Terug invullen van een $\lambda_i$ in vgl. (18) levert een stelsel van vergelijkingen op. Oplossen van dit stelsel levert ons de bijbehorende vector c_i, op een arbitraire voorfactor na, zie vgl. (13). Merk op dat uit vgl. (14) volgt dat als eenzelfde eigenwaarde meermalen voorkomt (ontaarding), de bijbehorende eigenvectoren niet eenduidig bepaald zijn. Wel is het zo dat als $\lambda_i$ een multipliciteit g_i heeft, we in de praktijk g_i lineair onafhankelijke eigenvectoren kunnen kiezen.