Lineaire afhankelijkheid, dimensie, basis

Stel we hebben een lineaire ruimte V. Een vector

$$c_1\vec{x}_1 + \ldots + c_n\vec{x}_n = \sum_i c_i\vec{x}_i$$

uit deze ruimte noemen we een lineaire combinatie van de vectoren $\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n$. Het stel vectoren $\{\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n\}$ is lineair onafhankelijk als de enige oplossing van de vergelijking

$$\sum_i c_i\vec{x}_i = \vec{0}$$

is $c_1 = \ldots = c_n = 0$, of, anders gezegd: geen van de vectoren $\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n$ is een lineaire combinatie van de andere. Als dat wel het geval is zijn de vectoren lineair afhankelijk. De dimensie van V, dim(V), is dan het grootst mogelijke aantal lineair onafhankelijke vectoren in V. Als we zo'n verzameling van $\{\vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n\}$ met n = dim(V) lineair onafhankelijke vectoren hebben, vormen die een basis voor V. Een basis is orthogonaal als alle vectoren in de basis loodrecht op elkaar staan, en orthonormaal als ze bovendien genormeerd zijn. Voor een willekeurige basis $\{\vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n\}$ is elke vector in V te schrijven als een lineaire combinatie van basisvectoren¹, dus voor elke $\vec{v} \in V$ geldt

$$\vec{v} = \sum_i c_i\vec{e}_i .$$ (5)

Het enige dat we nu nog moeten doen is de coëfficiënten c_i bepalen. Hier komen de inprodukten weer om de hoek kijken. Neem aan allebei de kanten van vgl. (5) het inprodukt met een basisvector $\vec{e}_j$, dan staat er

$$\langle{\vec{e}_j}\vert{\vec{v}}\rangle = \langle{\vec{e}_j... ...ngle = \sum_i\langle{\vec{e}_j}\vert{\vec{e}_i}\rangle c_i ,$$ (6)

waarbij voor de laatste gelijkheid eigenschappen 2 en 3 van het inprodukt gebruikt zijn. Vgl. (6) is geldig voor alle basis vectoren $\vec{e}_j$. Schikken we nu de coëficiënten c_i in een kolomvector c, en de de inprodukten $\langle{\vec{e}_j}\vert{\vec{v}}\rangle$ in een kolomvector v:

$$\mathbf{c} = \left( \begin{array}{c} c_1 \\ \vdots \\ ... ... \langle{\vec{e}_n}\vert{\vec{v}}\rangle \end{array} \right),$$

en definiëren we de overlap matrix S met elementen $S_{ji} = \langle{\vec{e}_j}\vert{\vec{e}_i}\rangle$:

$$\mathbf{S} = \left( \begin{array}{ccc} \langle{\vec{e}_1... ...angle{\vec{e}_n}\vert{\vec{e}_n}\rangle \end{array} \right) ,$$

dan kunnen we vgl. (6) opschrijven als de matrix vergelijking

 

Sc = v , (7)

met als oplossing²

 

c = S^-1v . (8)

In het geval de basis orthogonaal is, geldt $\langle{\vec{e}_j}\vert{\vec{e}_i}\rangle = \delta_{ji}\vert\vert\vec{e}_i\vert\vert^2$, zodat de matrix S een diagonaalmatrix wordt. De inverse van een diagonaalmatrix S is simpelweg een diagonaalmatrix met elementen (S^-1)_ii = 1/S_ii. Invullen van deze elementen in vgl. (8) levert ons dan een uitdrukking voor $\vec{v}$ in een orthogonale basis:

$$\vec{v} = \sum_i \vec{e}_i\frac{\langle{\vec{e}_i}\vert{\vec{v}}\rangle}{\vert\vert\vec{e}_i\vert\vert^2},$$ (9)

ofwel, in een orthogonale basis is een vector te schrijven als een som van de projecties van de vector op de basisvectoren. Als de basis bovendien genormeerd is, gaat S, en daarmee ook S^-1, over in de eenheidsmatrix, en wordt vgl. (7) simpelweg c = v, zodat we een willekeurige vector $\vec{v}$ in een orthonormale basis (en alleen in een orthonormale basis!) kunnen schrijven als

$$\vec{v} = \sum_i \vec{e}_i\langle{\vec{e}_i}\vert{\vec{v}}\rangle .$$ (10)