Hermitische operatoren

Stel V is een lineaire ruimte, en $\hat{A}$ is een operator op V. Het is dan te bewijzen dat er een unieke operator $\hat{A}^\dagger$ bestaat, zodanig dat voor elke twee vectoren $\vec{x}, \vec{y} \in V$ geldt dat

$$\langle{\vec{x}}\vert{\hat{A}\vec{y}}\rangle = \langle{\hat{A}^\dagger\vec{x}}\vert{\vec{y}}\rangle .$$ (19)

Meer specifiek geldt dus voor de basisvectoren

$$\langle{\hat{A}^\dagger\vec{e}_i}\vert{\vec{e}_j}\rangle = ... ...}\rangle^* = \langle{\vec{e}_i}\vert{\hat{A}\vec{e}_j}\rangle$$ (20)

zodat voor de elementen van de matrix van $\hat{A}^\dagger$ ten opzichte van de basis $\{\vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n\}$ geldt dat $(A^\dagger)_{ji}^* = A_{ij}$, of andersom $(A^\dagger)_{ij} = A_{ji}^*$. We kunnen de matrix van $\hat{A}^\dagger$ dus krijgen door de rijen en kolommen van A te verwisselen, en complex te conjugeren. Omdat vgl. (19) voor willeurige vectoren uit V geldt, kunnen we voor het operatorprodukt $\hat{A}\hat{B}$ schrijven

$$\langle{\vec{x}}\vert{\hat{A}\hat{B}\vec{y}}\rangle = \langl... ...{\hat{B}^\dagger\hat{A}^\dagger\vec{x}}\vert{\vec{y}}\rangle ,$$ (21)

zodat de Hermitisch geconjugeerde van $\hat{A}\hat{B}$ wordt gegeven door

$$(\hat{A}\hat{B})^\dagger = \hat{B}^\dagger\hat{A}^\dagger.$$ (22)

Een Hermitische operator $\hat{H}$ is een operator waarvoor geldt dat

$$\hat{H}^\dagger = \hat{H} .$$ (23)

We weten dan dus onmiddellijk dat voor de matrixelementen van $\hat{H}$ moet gelden dat H_ij = H_ji^*. Stel nu dat $\lambda$ een eigenwaarde van een Hermitische operator is, en $\vec{v}$ de bijbehorende eigenvector. Dan geldt

$$\langle{\vec{v}}\vert{\hat{H}\vec{v}}\rangle = \langle{\vec{v... ...c{v}}\rangle = \lambda\langle{\vec{v}}\vert{\vec{v}}\rangle ,$$ (24)

maar ook

$$\langle{\vec{v}}\vert{\hat{H}\vec{v}}\rangle = \langle{\hat{H... ...v}}\rangle = \lambda^*\langle{\vec{v}}\vert{\vec{v}}\rangle ,$$ (25)

zodat geldt $\lambda = \lambda^*$, ofwel, eigenwaarden van een Hermitische operator zijn reëel. Stel verder dat $\vec{v}'$ een andere eigenvector van $\hat{H}$ is, bij een eigenwaarde $\lambda'$. Dan geldt

$$\langle{\vec{v}'}\vert{\hat{H}\vec{v}}\rangle = \langle{\vec{v}'}\vert{\lambda\vec{v}}\rangle = \lambda\langle{\vec{v}'}\vert{\vec{v}}\rangle,$$ (26)

$$\langle{\vec{v}'}\vert{\hat{H}\vec{v}}\rangle = \langle{\hat{H}^\dagger\vec{v}'}\vert{\vec{v}}\rangle = \langle{\hat{H}\vec{v}'}\vert{\vec{v}}\rangle = \langle{\lambda'\vec{v}'}\vert{\vec{v}}\rangle = \lambda' \langle{\vec{v}'}\vert{\vec{v}}\rangle ,$$ (27)

waarbij we gebruikt hebben dat $\lambda'$ reëel is. Dan zijn er twee mogelijkheden:

• $\lambda \ne \lambda'$, maar dan moet gelden $\langle{\vec{v}'}\vert{\vec{v}}\rangle = 0$, ofwel eigenvectoren van een Hermitische operator bij verschillende eigenwaarden staan altijd loodrecht op elkaar.
• $\lambda = \lambda'$. In dat geval vertelt vgl. (14) ons dat elke lineaire combinatie van $\vec{v}'$ en $\vec{v}$ ook een eigenvector is van $\hat{H}$ bij dezelfde eigenwaarde. Dan kunnen we dus ook twee lineaire combinaties maken die loodrecht op elkaar staan (bijvoorbeeld $\vec{v}$ en $\vec{v}' - \vec{v}\frac{\langle{\vec{v}}\vert{\vec{v}'}\rangle}{\vert\vert\vec{v}\vert\vert^2}$).