Lineaire ruimte, vectoren en inprodukten

Een lineaire ruimte (vectorruimte) V is een verzameling met de volgende eigenschappen:

1.

Je kunt er in optellen: als $\vec{x} \in V$ en $\vec{y} \in V$ dan ook $\vec{x} + \vec{y} \in V$. Dit optellen volgt de normale regels, d.w.z. $\vec{x} + (\vec{y} +\vec{z}) = (\vec{x} + \vec{y}) + \vec{z}$, en $\vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x}$.

2.

Er is een scalaire vermenigvuldiging gedefinieerd, dus als $\vec{x} \in V$ en c is een getal, dan $c\vec{x} \in V$. Als c alleen reëel mag zijn noemen we V een reële vectorruimte, als c ook complex mag zijn is V een complexe vectorruimte. Deze vermenigvuldiging moet ook voldoen aan de regels die je zou verwachten: $1\vec{x} = \vec{x}$, $c(d\vec{x}) = (cd)\vec{x}$, $(c+d)\vec{x} = c\vec{x} + d\vec{x}$, $c(\vec{x}+\vec{y}) = c\vec{x} + c\vec{y}$.

3.

Er is een element $\vec{0}$ van V, zodanig dat voor alle $\vec{x} \in V$ geldt dat $\vec{x} + \vec{0} = \vec{x}$.

4.

Voor ieder element $\vec{x} \in V$ is er een tegengestelde $(-x) \in V$, zodanig dat $\vec{x} + (-\vec{x}) = \vec{0}$.

De elementen van een dergelijke ruimte noemen we vectoren. Merk op dat hiermee (op dit punt) niet noodzakelijk een kolommetje danwel rijtje getallen bedoeld wordt. Bekijk bijvoorbeeld de lineaire ruimte bestaande uit alle polynomen van graad kleiner of gelijk aan twee (check dat dit inderdaad een lineaire ruimte is), dan noemen we het polynoom $\vec{p}$, met $\vec{p} (x) = p_0 + p_1x + p_2x^2$, ook een vector. Verder zien we met de bovenste twee eisen onmiddellijk dat voor alle vectoren $\vec{x}$ en $\vec{y}$ uit een lineaire ruimte V geldt dat

$$\vec{x},\vec{y} \in V \quad \Rightarrow \quad c\vec{x} + d\vec{y} \in V ,$$

voor willekeurige getallen c en d.

In een dergelijke lineaire ruimte willen we een inprodukt definiëren. Het inprodukt $\langle{\cdot}\vert{\cdot}\rangle$ is een functie van twee vectoren die een getal oplevert, en die voldoet aan de volgende eisen:

1.

$\langle{\vec{x}}\vert{\vec{y}}\rangle = \langle{\vec{y}}\vert{\vec{x}}\rangle^*$,

2.

  $\langle{\vec{x}}\vert{\lambda\vec{y}}\rangle = \lambda\langle{\vec{x}}\vert{\vec{y}}\rangle$,

3.

  $\langle{\vec{x}}\vert{\vec{y}+\vec{z}}\rangle = \langle{\vec{x}}\vert{\vec{y}}\rangle + \langle{\vec{x}}\vert{\vec{z}}\rangle$.

4.

Uit de eerste eis volgt dat $\langle{\vec{x}}\vert{\vec{x}}\rangle$ reëel is. Dan eisen we verder $\langle{\vec{x}}\vert{\vec{x}}\rangle \ge 0$, en

5.

$\langle{\vec{x}}\vert{\vec{x}}\rangle = 0$, dan en slechts dan als $\vec{x} = \vec{0}$.

Met deze eisen kunnen we nog enkele andere handige rekenregeltjes voor inprodukten bewijzen:
$$\begin{align*}&\langle{\lambda\vec{x}}\vert{\vec{y}}\rangle = \langle{\vec{y}}\... ...ec{x}}\vert{\vec{z}}\rangle + \langle{\vec{y}}\vert{\vec{z}}\rangle \end{align*}$$

Begrippen als lengte, loodrecht (orthogonaal) en projectie kunnen we met behulp van een inprodukt generaliseren:

• De lengte van een vector $\vec{x}$ is $\vert\vert\vec{x}\vert\vert = \sqrt{\langle{\vec{x}}\vert{\vec{x}}\rangle}$.
• Vector $\vec{x}$ staat loodrecht op $\vec{y}$ als $\langle{\vec{x}}\vert{\vec{y}}\rangle = 0$.
• De projectie van een vector $\vec{x}$ op een vector $\vec{y}$ is $\vec{y}\frac{\langle{\vec{y}}\vert{\vec{x}}\rangle}{\vert\vert\vec{y}\vert\vert^2}$.

Een vector $\vec{x}$ heet genormeerd als zijn lengte 1 is, dus als $\langle{\vec{x}}\vert{\vec{x}}\rangle=1$.

Tenslotte een voorbeeld uit de quantummechanica: de ruimte van alle kwadratisch integreerbare functies in één dimensie. Dit is de ruimte waar het beroemde deeltje in een één-dimensionaal doosje in leeft. Het inprodukt op deze ruimte kunnen we definiëren als

$$\langle{f}\vert{g}\rangle = \int_{-\infty}^\infty f(x)^* g(x) \mathrm{d}x .$$ (1)

Kwadratisch integreerbaar slaat in dit geval op het feit dat we eisen de lengte van een vector uit deze ruimte eindig is:

$$\langle{f}\vert{f}\rangle = \int_{-\infty}^\infty f(x)^* f(x) \mathrm{d}x < \infty .$$ (2)

Optellen in deze ruimte is gedefinieerd door (f+g)(x) = f(x) + g(x), de scalaire vermenigvuldiging door (cf)(x) = c[f(x)]. De nulvector is natuurlijk de constante functie f(x) = 0, en de tegengestelde van een functie is simpelweg gedefinieerd door (-f)(x) = -[f(x)]. Als we willen nagaan of dit echt een lineaire ruimte definieert, moeten we voor de bovenstaande definities nagaan of het resultaat nog wel in de ruimte ligt. Dat het allemaal functies zijn is wel duidelijk, we moeten dus kijken of deze functies kwadratisch integreerbaar zijn. Dat de nulvector kwadratisch integreerbaar is, is triviaal, evenals dat (-f) en cf dat zijn. Voor de optelling is het verhaal iets moeilijker, maar aangezien we weten dat voor alle x geldt dat

$$\begin{eqnarray*}\vert f(x)-g(x)\vert^2 & = & [f(x)-g(x)]^*[f(x)-g(x)] \\ & = & f(x)^*f(x) + g(x)^*g(x) - f(x)^*g(x) - g(x)^*f(x)\\ & \ge & 0 \end{eqnarray*}$$

weten we ook dat voor elke x geldt dat

$$f(x)^*g(x) + g(x)^*f(x) \le f(x)^*f(x) + g(x)^*g(x) .$$ (3)

Aangezien de integraal over de rechterkant kleiner dan oneindig is, is de linkerkant dat zeker. Maar dan is het inprodukt

$$\langle{f+g}\vert{f+g}\rangle = \int_{-\infty}^\infty f(x)^*f(x) + g(x)^*g(x) + f(x)^*g(x) + g(x)^*f(x) \mathrm{d}x$$ (4)

dus ook kleiner dan oneindig, zodat als f en g kwadratisch integreerbaar zijn, hun som dat ook is. Je kunt met de uitdrukking voor het inprodukt, vgl. (1), alle regeltjes voor het inprodukt nalopen om te kijken of het écht een inprodukt definieert.