Hybride orbitalen

Het maken van orthornormale hybride orbitalen kunnen via een simpel recept doen. Als voorbeeld bekijken we de constructie van sp³-hybriden:

1.

Schrijf de richtingsvectoren op waar de hybriden heen moeten wijzen. Voor sp³ hybriden is dat vanuit het centrum van een tetraeder naar de vier hoekpunten, wat overeenkomt met

$$\mathbf{r}_a = \left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\rig... ...{r}_d = \left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right) .$$ (71)

De lengte van de vectoren doet er niet zo veel toe, maar aangezien de vier sp³ hybriden equivalent zijn moeten ze wel allemaal gelijk zijn.

2.

Bak lineaire combinaties van p orbitalen die in de gewenste richting wijzen:

$$\begin{eqnarray*}p_a & = & \phantom{-}p_x+p_y+p_z,\\ p_b & = & \phantom{-}p_x-p_y-p_z,\\ p_c & = & -p_x+py-pz,\\ p_d & = & -p_x-py+pz . \end{eqnarray*}$$

3.

Meng in ieder van die orbitalen zoveel s-orbitaal in dat ze orthogonaal op elkaar komen staan. Aangezien in ons geval alle orbitalen equivalent zijn (en de lengtes van de p_a tot en met p_d gelijk zijn), moet er bij allemaal evenveel s ingemengd worden. Schrijven we $h_\alpha = p_\alpha + \lambda s$, dan kunnen we bijvoorbeeld door het inprodukt $\langle{h_a}\vert{h_b}\rangle$ nul te stellen $\lambda$ uitrekenen:
$$\begin{align}&\langle{h_a}\vert{h_b}\rangle = \langle{p_x+p_y+p_z+\lambda s}\v... ...\lambda^2 = 0 \nonumber\\ &\quad \Rightarrow \quad \lambda^2 = 1, \end{align}$$
ofwel $\lambda = \pm 1$. Maar als we $\lambda=-1$ zouden kiezen, zouden de orbitalen de ander kant opwijzen (wat ook een set sp³ gehybridiseerde orbitalen oplevert, maar niet in de richting waarin wij dat wilden). Dus zeggen we $\lambda = 1$, en krijgen we $h_\alpha = p_\alpha + s$.

4.

Normeer eventueel het resultaat. $\langle{h_\alpha}\vert{h_\alpha}\rangle = 4$, dus als we ze met 1/2 vermenigvuldigen krijgen we vier orthonormale, sp³ gehybridiseerde orbitalen:

$$\begin{eqnarray*}h_a & = & 1/2(p_x+p_y+p_z+s), \\ h_b & = & 1/2(p_x-p_y-p_z+s)... ...& = & 1/2(-p_x+p_y-p_z+s), \\ h_d & = & 1/2(-p_x-p_y+p_z+s). \end{eqnarray*}$$