De Dirac delta functie

De Dirac delta functie $\delta(x)$ is een generalisatie van de Kronecker delta naar een functie met een continue index. Zoals voor een Kronecker delta $\delta_{ij}$ geldt dat

$$\begin{eqnarray*}\delta_{ij} & = & 0\ \ \mathrm{als}\ i \ne j ,\\ \sum_i \delta_{ij} & = & 1, \end{eqnarray*}$$

zo geldt voor de Dirac delta functie:

$$\begin{eqnarray*}\delta (x) & \equiv & 0\ \ \mathrm{als}\ \ x \ne 0 \\ \int_{-\infty}^{\infty} \delta (x) \mathrm{d}x & \equiv & 1. \end{eqnarray*}$$

De Dirac delta functie is geen ``echte'', fysische functie. We kunnen hem echter wel voorstellen als een limiet naar een oneindig smalle functie, gecentreerd om x = 0, met een oppervlakte 1, bijvoorbeeld de driehoek

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{\epsilon}(1 + \... ...& x < \epsilon \\ 0 & \mathrm{anders} \end{array} \right. ,$$ (1)

voor een kleine, positieve $\epsilon$. Als f(x) een functie is die zich een beetje glad gedraagt rond x = 0, dan werkt de delta functie als een filter:

   $$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) f(x) \mathrm{d}x = \int... ...f(0) \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \delta(x) \mathrm{d}x = f(0).$$

De eerste stap geldt vanwege de eerste eigenschap van de Dirac delta functie, en de tweede stap is een benadering die willekeurig goed gemaakt kan worden door $\epsilon$ klein genoeg te maken. In de limiet voor $\epsilon \rightarrow 0$is dit exact. Merk op dat vgl. (2) geheel analoog is aan het discrete geval waar we een Kronecker delta gebruiken:

$$\sum_i \delta_{ij} c_i = c_j .$$ (2)

Aangezien $\delta(x) = 0$ als $x \ne 0$ geldt ook dat $\delta(x - y) = 0$ als $x - y \ne 0$, ofwel als $x \ne y$. Dan kunnen we op dezelfde manier f(x) dus op elk willeurig punt filteren (mits f(x) zich niet al te bont gedraagt rond x = y):

$$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-y) f(x) \mathrm{d}x \int_{y-\epsilon}^{y+\epsilon} \delta(x-y) f(x) \mathrm{d}x$$ =

$$f(y) \int_{y-\epsilon}^{y+\epsilon} \delta(x-y) \mathrm{d}x$$ =

$$f(y) \int_{-\epsilon}^\epsilon \delta(x') \mathrm{d}x'$$ =

= f(y). (3)

Tenslotte merken we nog op dat een Dirac delta functie in 3 dimensies eenvoudig het product van drie één-dimensionale delta functies is:

$$\delta(\mathbf{r}) \equiv \delta(x)\delta(y)\delta(z)$$ (4)