Inproduct en norm

Het inproduct tussen twee vectoren ${\bf x}$ en ${\bf y}$is gegeven door

$$\langle {\bf x} \vert {\bf y} \rangle = \begin{pmatrix}x_1\\... ...d{pmatrix} \equiv x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 = \sum_i x_i y_i$$ (13)

Door vectoren op te vatten als rechthoekige matrices kun je dit met een matrix vermenigvuldiging uitrekenen:

   p = x'*y

Merk op dat het inproduct tussen complexe vectoren gedefinieerd is als

$$\sum_i x_i^\ast y_i$$ (14)

en dat is precies wat x'*y doet. De norm (ook wel lengte) van een vector is gedefinieerd door

$$\vert\vert {\bf x}\vert\vert \equiv \sqrt{\langle {\bf x} \vert {\bf x} \rangle}$$ (15)

In MATLAB kun je de functie norm gebruiken:

   norm(x)-sqrt(x'*x)

of je kunt zelf de som van de kwadraten uitrekenen met

   sum(x.^2)

Let op:

   length(x)

geeft het aantal elementen van een vector (3 in dit geval). De afmetingen van een matrix krijg je overigens met

   size(A)

De hoek $\alpha$ tussen twee vectoren ${\bf x}$ en ${\bf y}$is impliciet gedefinieerd door

$$\langle x \vert y \rangle = \vert\vert x\vert\vert ~ \vert\vert y\vert\vert \cos\alpha$$ (16)

Gebruik deze definitie om de hoek tussen de vectoren ${\bf a}_1$ en ${\bf a}_2$ uit vgl. (4) uit te rekenen (antwoord: $70.8934^\circ$). Als $\alpha$gelijk is aan $90^\circ$ staan de vectoren loodrecht op elkaar (het inproduct is dan nul).

We kunnen nu ook de projectie (${\bf p}$) van de vector ${\bf a}_2$ op ${\bf a}_1$ uitrekenen. Per definitie is dit een vector die te schrijven is als ${\bf p}= \lambda {\bf a}_1$ zodanig dat de vector ${\bf d}={\bf a}_2-{\bf p}$ loodrecht staat op ${\bf a}_1$(maak voor jezelf een schetsje maakt met al de genoemde vectoren). Leidt een formule af voor $\lambda$. Reken nu met MATLAB de vectoren ${\bf p}$ en ${\bf d}$ uit en controleer of de laatste inderdaad loodrecht staat op ${\bf a}_1$.

De formule wordt iets eenvoudiger als je eerst de vector ${\bf a}_1$ normeert:

$$\vert\vert{\bf a}_1\vert\vert$$ N = (17)

$${\bf q}_1 \frac{1}{N}{\bf a}_1$$ = (18)

Vul nu in

$${\bf a}_1 = N {\bf q}_1$$ (19)

in de formule voor $\lambda$ en laat zien dat N er uit valt.

Het vlak V opgespannen door de vector ${\bf a}_1$ en ${\bf a}_2$ is de verzameling van alle vectoren die kunnen worden geschreven als een lineaire combinatie van deze twee vectoren. Een orthonormale basis ${\bf Q}=[{\bf q}_1 {\bf q}_2]$ voor het vlak Vbestaat uit twee genormeerde vectoren in V die onderling loodrecht staan. Maak zo'n basis (hint: de vector ${\bf q}_1$ is een mooi begin, lees verder de definitie van projectie nog eens goed).

De vector ${\bf a}_2$ kan geschreven worden in de basis ${\bf Q}$

$${\bf a}_2 = {\bf q}_1 c_1 + {\bf q}_2 c_2.$$ (20)

Bereken met MATLAB de expansiecoefficienten

$${\bf c}= \begin{pmatrix}c_1\\ c_2 \end{pmatrix}.$$ (21)

Hoe kun je controleren of je antwoord goed is?

Met welk MATLAB statement kun je in één keer de expansiecoefficiënten van zowel ${\bf a}_1$ als ${\bf a}_2$ in de basis ${\bf Q}$ berekenen?

Laat zien dat de lengte van ${\bf a}_2$ gelijk is aan $\sqrt{c_1^2+c_2^2}$door vgl. 20 in te vullen in

$$\vert\vert{\bf a}_2\vert\vert = \sqrt{ \langle {\bf a}_2 \vert {\bf a}_2 \rangle}$$ (22)

Bereken de componenten b₁ en b₂ van de vector ${\bf b}$ (vlg. 4) in de basis ${\bf Q}$. Vergelijk $\vert\vert{\bf b}\vert\vert$ met $\sqrt{b_1^2+b_2^2}$. Wat is hier aan de hand?

Bereken de projectie ${\bf f}$ van de vector ${\bf b}$ op het vlak V.

Wat is de afstand van ${\bf b}$ tot V?

Het zou nu duidelijk moeten zijn waarom het stelsel

$$[ {\bf a}_1 {\bf a}_2]{\bf x}= {\bf b}$$ (23)

geen oplossing heeft. Echter, als je in MATLAB het commando

  x = [ a1 a2 ] \ b

geeft, krijg je toch een antwoord. Om te begrijpen wat dit antwoord betekent vullen we ${\bf x}$ terug in:

   z = [ a1 a2 ] * x

Vergelijk ${\bf z}$ met de eerder gevonden projectie ${\bf f}$. Omdat de vector ${\bf f}$ per definitie een lineaire combinatie is van de vectoren ${\bf a}_1$ en ${\bf a}_2$ moet het stelsel

$$[ {\bf a}_1 {\bf a}_2]{\bf x}= {\bf f}$$ (24)

wel een oplossing hebben. De exacte oplossing ${\bf x}$ van deze vergelijking wordt de kleinste kwadraten oplossing van vgl. (23) genoemd.

De vector ${\bf g}$ en de matrix ${\bf D}$ zijn gegeven door

 

$${\bf g} 2 {\bf a}_1 + 3 {\bf a}_2$$ = (25)

$${\bf D} [ {\bf a}_1 {\bf a}_2 {\bf g}].$$ = (26)

Probeer met MATLAB het lineaire stelsel

$${\bf D}{\bf x}= {\bf b}$$ (27)

op te lossen. Wat is hier aan de hand? (Hint: bereken de determinant det(D)).

Beschouw het lineaire stelsel

$${\bf D}{\bf z}= {\bf0} \equiv \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}.$$ (28)

Eén (triviale) oplossing is onmiddelijk duidelijk: ${\bf z}={\bf0}$. Als de inverse van ${\bf D}$ bestond kon je eenvoudig laten zien dat dit de enige oplossing was:

$${\bf z}= {\bf D}^{-1} {\bf0} = {\bf0}.$$ (29)

We hebben--als het goed is--zojuist vastgesteld dat de inverse van ${\bf D}$ niet bestaat (${\bf D}$ is singulier). Er zijn dus ook niet-triviale oplossingen en die gaan we nu proberen te vinden. Laat eerst zien dat als ${\bf z}$ een niet-triviale oplossing is, ${\bf z}'=\lambda {\bf z}$ ook een oplossing is (voor iedere scalar $\lambda$). Minstens één component van ${\bf z}$ moet ongelijk aan nul zijn. Laten we gokken dat dit de eerste component z₁ zodat we mogen kiezen z₁=1 (als we pech hebben moeten we maximaal drie keer opnieuw beginnen). Stel nu een vergelijking op voor z₂ en z₃door z₁=1 in te vullen in vgl. (28). Vul hierbij niet de waarden van de elementen van ${\bf D}$in, maar gebruik de notatie van vgl. (26).

Hoe kun je controleren of je het goede antwoord voor ${\bf z}$hebt gevonden?