Lineaire vergelijking

Gegeven zijn de vier vectoren:

$${\bf a}_1=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}, {\bf a}_2... ...end{pmatrix}, {\bf b}=\begin{pmatrix}-1\\ 4\\ 5\end{pmatrix}.$$ (4)

Gevraagd is: welke lineaire combinatie van de vectoren ${\bf a}_1, {\bf a}_2$ en ${\bf a}_3$ is gelijk aan de vector ${\bf b}$, oftewel, los op:

$$x_1 {\bf a}_1 + x_2 {\bf a}_2 + x_3 {\bf a}_3 = {\bf b}.$$ (5)

Dit lineaire stelsel kan herschreven worden als

$${\bf A} [ {\bf a}_1 {\bf a}_2 {\bf a}_3 ]$$ = (6)

$${\bf A}{\bf x} {\bf b}.$$ = (7)

In MATLAB kun je dit stelsel oplossen met

   x = A\b

Als de inverse van ${\bf A}$ bestaat, d.w.z., ${\bf A}$ is een vierkante matrix waarvan de determinant ongelijk aan nul is [MATLAB commando: det(A)], kun je de oplossing ook schrijven als

$${\bf x}= {\bf A}^{-1} {\bf b}$$ (8)

en in MATLAB wordt dit

  x = inv(A) * b

In MATLAB is de methode met de backslash (\) het beste (iets nauwkeuriger en iets sneller). Let op: de forward slash (/) doet net iets anders:

  C=A/B

is de ``betere manier'' om

  C=A*inv(B)

uit te rekenen. In een enkel geval wil je helemaal geen lineair stelsel oplossen, maar, voor twee matrices A en B die dezelfde afmetingen hebben ieder element van A delen door een element van B:

$$D_{i,j} = \frac{A_{i,j}}{B_{i,j}}$$ (9)

Dit doe je in MATLAB met

   D = A./B

Voor matrix vermenigvuldiging is de situatie analoog:

   C = A * B

is een matrix vermenigvuldiging:

$$C_{i,j} = \sum_k A_{i,k} B_{k,j}$$ (10)

terwijl

   D = A .* B

een zogenaamde puntsgewijze vermenigvuldiging is:

D_i,j = A_i,j B_i,j (11)

De zogenaamde standaard basis voor ${\bf R}^3$ bestaat uit de drie vectoren $\{ {\bf e}_1, {\bf e}_2, {\bf e}_3\}$

$${\bf e}_1 = \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}, {\bf e}_2... ...{pmatrix}, {\bf e}_3 = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}.$$ (12)

Als je deze vectoren naast elkaar zet krijg je de eenheidsmatrix. In MATLAB heb je daarvoor het commando

   E = eye(3)

Van het vak lineaire algebra weet je misschien nog de regel: ``de kolommen van een matrix zijn de beelden van de basisvectoren''. Probeer te voorspellen wat hier uit komt:

   e2 = E(:,2)
   d  = A(:,2) - A*e2

Met de volgende commandos kun je een matrix of vector met allemaal nullen respectievelijk allemaal enen maken:

   zeros(3)      % 3x3 matrix met nullen
   ones(3)       % 3x3 matrix met enen
   ones(3,1)     % kolom vector met enen
   zeros(1,3)    % rijvector met nullen

Wat ook handig kan zijn:

   D = diag([2 3 -1])      % diagonaal matrix met gegeven elementen
   d = diag(D)             % stop diagonaal elementen weer in een vector

Bedenk een alternatief voor het commando eye(17)