Opgave 20

De matrix O representeert de operator $\mathsf{O}$ in de lineaire ruimte opgespannen door de basis $\{\phi_i; i=1,\ldots,n\}$. De definitie van de matrix O is dus

$$\mathsf{O} \phi_i = \sum_{j=1}^n \phi_j O_{ji} .$$

We kiezen nu een nieuwe basis $\{\phi'_j; j=1,\ldots,n\}$; de transformatie $\mathsf{T}$ van de basis $\{\phi_i \}$ naar $\{\phi'_i \}$ wordt gerepresenteerd door de matrix T

$$\phi'_i = \mathsf{T} \phi_i = \sum_{j=1}^n \phi_j T_{ji} .$$

Opgave 20.1 Bewijs voor de matrix O' die de operator $\mathsf{O}$representeert op de basis $\{\phi'_j \}$ dat

O' = T^-1OT

Opgave 20.2 Bewijs dat het spoor van een matrixrepresentatie invariant is onder basis transformaties

$${\rm Sp} (\bm{O'}) = \sum_{i=1}^n O'_{ii} = {\rm Sp} (\bm{O}) = \sum_{j=1}^n O_{jj}$$

Hint: bewijs eerst de stelling

$${\rm Sp} (\bm{A}\bm{B}) = {\rm Sp} (\bm{B}\bm{A})$$

voor twee willekeurige vierkante matrices Aen B en gebruik deze dan.