Eigenwaarden en eigenvectoren

Het eigenwaardenprobleem

$$A {\bf u} = e {\bf u}$$ (12)

kan herschreven worden als

$$B(e) {\bf u} = 0$$ (13)

met B(e) = A - e I, waarbij I een éénheidsmatrix is. Vgl. (13) heeft alleen niet-triviale oplossingen als B(e) singulier is. Neem

$$A=\begin{pmatrix}0 & 2 & 4\\ 2 & 2 & 3\\ 4 & 3 & -1\end{pmatrix}.$$ (14)

Opgave 3.1   Maak een plot van ${\rm det}(B(e))$ voor $e\in[-5,8]$en schat de laagste eigenwaarde e₁ van de matrix A.

Opgave 3.2   Gebruik de routine fzero om een nauwkeurigere waarde voor e₁ te vinden.

Als de eigenwaarde heel erg nauwkeurig bepaald is kunnen we de eigenvector die voldoet aan

$$B(e_1) {\bf u}_1 = 0$$ (15)

vinden zoals bij opgave 2.7. Hier volgen we een andere methode. Als we aannemen dat ${\bf u}_1(1)$ niet toevallig precies 0 is, mogen we ${\bf u}_1(1)$ gelijk aan 1 nemen. Door dit in te vullen in vgl. (15) kunnen we het stelsel partitioneren

$$\begin{pmatrix}a & {\bf b}^T\\ {\bf b} & C \end{pmatrix} \beg... ...f y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ {\bf0} \end{pmatrix}.$$ (16)

Uitschrijven geeft

 

$$a + {\bf b}^T {\bf y}$$ = 0 (17)

$${\bf b} + C {\bf y} {\bf0}.$$ = (18)

Opgave 3.3   Los ${\bf y}$ op uit vlg. (18). Construeer en normeer de vector ${\bf u}_1$.

Opgave 3.4   Genereer een random vector met componenten tussen -1 en 1(x=2*rand(3,1)-1) en bereken het zogenaamde Rayleigh quotient

$$R({\bf x}) = \frac{ \langle {\bf x} \vert A \vert {\bf x} \rangle} { \langle {\bf x} \vert {\bf x} \rangle}$$ (19)

Het is eenvoudig te bewijzen dat $R({\bf x}) \geq e_1$.

Opgave 3.5 (*)   Probeer een benadering van de laagste eigenwaarde en bijbehorende eigenvector te vinden door in een loop 100 random vectoren te testen met het Rayleigh quotient. Wat is de hoek tussen de benaderde eigenvector en de ${\bf u}_1$ uit opgave 3.3 ?

Opgave 3.6   Gebruik de MATLAB routine ``eig'' om alle eigenvectoren en eigenwaarden van A te vinden.

Opgave 3.7   Gebruik de routine ``sort'' om de eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren te sorteren zodat $e_i \leq e_{i+1}$.