Niet orthonormale basis

Gegeven is een n-dimensionale basis $B=\{\phi_1,\cdots,\phi_n\}$en een Hamiltoniaan $\hat{H}$. De basis is niet orthonormaal, de matrix elementen van de zogenaamde overlap matrix ${\bf S}$ zijn gegeven door

$$\langle \phi_i \vert \phi_j \rangle = S_{ij}$$ (1)

en de matrix elementen van de Hamiltoniaan $\hat{H}$ zijn gegeven door:

$$\langle \phi_i \vert \hat{H} \vert \phi_j \rangle = H_{ij}$$ (2)

Opgave 3.1   Vul de expansie van de golffunctie $\psi$ in de basis B

$$\psi = \sum_i c_i \phi_i$$ (3)

in in de Schrödinger vergelijking

$$\hat{H}\psi = E \psi$$ (4)

en bereken de inproducten met de basis functies. Schrijf het resultaat in matrix notatie. Dit resultaat wordt een gegeneraliseerd eigenwaarden probleem genoemd.

Opgave 3.2   Leidt een formule af voor de norm van $\psi$ uitgedrukt in de vector met expansiecoefficienten (${\bf c}$) en de matrix de overlapmatrix ${\bf S}$.

Matrix eigenwaarden problemen van dimensie twee zijn goed zonder computer te doen.

Opgave 3.3   Los het gewone matrix eigenwaarden probleem

$${\bf H}{\bf c}= E {\bf c}$$ (5)

op voor het speciale geval dat

 

$$H_{2,2} = \alpha$$ H_1,1 =

$$H_{2,1} = \beta.$$ H_1,2 = (6)

Geef de twee eigenwaarden en de bijbehorende (genormeerde) eigenvectoren. Wat is de laagste eigenwaarde (gegeven is $\beta<0$)?

Opgave 3.4   Wat is de hoek tussen de eigenvectoren?

Opgave 3.5   Maak deze opgave pas als je tijd over hebt of anders thuis. Herhaal opgave 3.3 voor een niet orthonormale basis. Neem ${\bf H}$ als in vgl. (6) en voor de overlap matrix:

$${\bf s}= \begin{pmatrix} 1 & s\\ s & 1 \end{pmatrix}$$ (7)