Opgave 12

De Li en H kernen van het molecuul LiH liggen op de z-as op de posities (0,0,-R/2) en (0,0,R/2). We nemen een atomaire 2s-orbital op de Li-kern: $2s_{Li} \equiv 2s_{Li}(\vec{r}-\vec{R}_{Li})$, en een atomaire 1s-orbital op de H-kern: $1s_H \equiv 1s_{H}(\vec{r}-\vec{R}_{H})$. Beide AO's zijn genormeerd.

Opgave 12.1 Schrijf de dipoolmoment-operator op voor dit molecuul. Schrijf ook een effectieve dipool-operator op waarbij we aannemen dat de 1s core electronen van Li op de kern zitten.

Opgave 12.2 Laat zien, via de coordinaat-transformatie z = z' - R/2 en gebruik van spiegelsymmetrie van de Li 2s orbital ten opzichte van de Li kern, dat

$$\langle\mskip3mu2s_{Li}\mskip3mu\vert\mskip3muz\mskip3mu\vert... ... \int 2s^2_{Li}(\vec{r}-\vec{R}_{Li}) \,z \, d\vec{r} = -R/2 .$$

Analoog, via de coordinaat-transformatie z = z' + R/2 en gebruik van spiegelsymmetrie van de H 1s orbital ten opzichte van de H kern, dat

$$\langle\mskip3mu1s_{H}\mskip3mu\vert\mskip3muz\mskip3mu\vert\... ...e = \int 1s^2_{H}(\vec{r}-\vec{R}_{H}) \,z \, d\vec{r} = R/2 .$$

Opgave 12.3 De bonding MO van LiH wordt geschreven als

$$\chi = a \, 2s_{Li} + b \, 1s_{H}$$

waarbij a en b coëfficiënten zijn die met de lineaire variatie-methode kunnen worden bepaald. Schrijf de twee-electron golffunctie op voor de valentie-electronen in de grondtoestand van LiH in het MO model.

Opgave 12.4 Bereken de verwachtingswaarde van het dipoolmoment met de twee-electron-golffunctie uit opgave 12.3 en de effectieve dipool-operator uit opgave 12.1. Verwaarloos de overlap-integraal, d.w.z. $\langle\mskip3mu2s_{Li}\mskip3mu\vert\mskip3mu1s_{H}\mskip3mu\rangle = 0$, en stel ook $\langle\mskip3mu2s_{Li}\mskip3mu\vert\mskip3muz\mskip3mu\vert\mskip3mu1s_{H}\mskip3mu\rangle = 0$.

Opgave 12.5 Als je weet dat de bindingsafstand van LiH gelijk is aan $R_e = 3.0 \; a_0$ (a₀ is de atomaire eenheid van lengte) en het dipoolmoment $\mu$ gelijk is aan $-2.4 \; e a_0$, wat volgt dan uit de uitkomst van opgave 12.4 voor de waarden van de MO-coëfficiënten a en b? N.B. Het negatieve dipoolmoment komt overeen met Li $^{\delta+}$H $^{\delta-}$; ga na dat dit klopt met de verdeling van de bonding MO over de atomen. Wat zijn de atomaire ladingen $\delta$?