Opgave 10

De kernen A en B van een twee-atomig molecuul A-B liggen op de $z$-as. We nemen een atomaire $s$-orbital op kern A: $s_A$, en een atomaire $p_x$ orbital op kern B: $p_{x_B}$.

Opgave 10.1 Laat zien dat de atomaire orbital $p_{x_B}\equiv p_x(\vec{r}-\vec{R}_B)$ oneven is onder spiegeling ten opzichte van het $yz$-vlak. Deze spiegeling correspondeert met de coördinaat-transformatie $(x,y,z) \rightarrow (-x,y,z)$. Een $p_x$ orbitaal in de oorsprong wordt gegeven door:

$$p_x(x,y,z) = x r e^{-r/2}\frac{1}{4\sqrt{2\pi}},$$   $$\mbox{$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$}$$$$.$$

Opgave 10.2 Bewijs voor de overlapintegraal dat

$$\langle\mskip3mu s_A\mskip3mu\vert\mskip3mu p_{x_B}\mskip3mu\rangle = \int s(\vec{r}-\vec{R}_A) \,\, p_x(\vec{r}-\vec{R}_B) \, d\vec{r} = 0.$$

Aanwijzing: verdeel de ruimte in twee delen met $x \ge 0$ en $x < 0$ en laat zien door middel van een geschikte coördinaat-transformatie dat de integralen over deze twee delen tegen elkaar wegvallen