Valence bond model voor H₂

In opgave 5 van het Werkcollege QCB II hebben we de elektronische Hamiltoniaan $(\mathsf{H})$ van het H₂ molecuul opgeschreven en de verwachtingswaarde hiervan over de (niet genormeerde) valence bond golffunctie

$$\Psi_+(1,2) = \phi_{1s,A}(1) \phi_{1s,B}(2) + \phi_{1s,B}(1) \phi_{1s,A}(2)$$

uitgewerkt. Het resultaat voor de bindingsenergie was

$$\Delta E = \frac{P(R) + Q(R)}{1 + S(R)^2}.$$

De overlap integraal S(R), de Coulomb integraal P(R) en de exchange integraal Q(R) zijn als volgt gedefinieerd

$$\begin{eqnarray*}S(R) & = & \langle \phi_{1s,A} \vert \phi_{1s,B} \rangle \\ P... ... Q(R) & = & \displaystyle{\frac{S(R)^2}{R}} + 2 S(R) k(R) + K(R) \end{eqnarray*}$$

en de in P(R) en Q(R) voorkomende integralen zijn

$$\begin{eqnarray*}j(R) & = & \langle \phi_{1s,A}(1) \vert\frac{-1}{r_{1B}}\vert \... ...t\frac{1}{r_{1,2}} \vert \phi_{1s,B}(1)\phi_{1s,A}(2) \rangle . \end{eqnarray*}$$

Met het script voorbeeld2.m (zie uitleg bij Opdracht 2) kun je alle benodigde integralen als functie van R uitrekenen.

Opgave 3.1   Bereken en plot de potentiaalcurve voor dit valence bond model van H₂.

Opgave 3.2   Als we vergeten zouden hebben om de golffunctie (anti)symmetrisch te maken

$$\Psi'(1,2) = \phi_{1s,A}(1) \phi_{1s,B}(2),$$

dan was de bindingsenergie

$$\Delta E = P(R)$$

Hoe zou de interactiepotentiaal er dan uit gezien hebben? Plot het resultaat in dezelfde figuur om beter te kunnen vergelijken. Welke integralen zijn vooral bepalend voor de binding in H₂?

Opgave 3.3 (Als je tijd over hebt)   . Bepaal de potentiaalcurve voor de eerste aangeslagen (triplet) toestand

$$\Psi_(1,2) = \phi_{1s,A}(1) \phi_{1s,B}(2) - \phi_{1s,B}(1) \phi_{1s,A}(2)$$

met bindingsenergie

$$\Delta E = \frac{P(R) - Q(R)}{1 - S(R)^2} .$$