Spin

Samenvatting formules:

$$[ \hat{S}_x,\hat{S}_y] i \hbar \hat{S}_z$$ = (1)

$$\hat{S}^2 \hat{S}_x^2+\hat{S}_y^2+\hat{S}_z^2$$ = (2)

$$\hat{S}_\pm \hat{S}_x\pm i \hat{S}_y$$ = (3)

$$\hat{S}^2\vert SM \rangle \hbar^2 S(S+1)\vert SM \rangle, \;\;\; S=0,\frac{1}{2},1,\ldots$$ = (4)

$$\hat{S}_z\vert SM \rangle \hbar M \vert SM \rangle, \;\;\; M=-S,-S+1,\ldots,S$$ = (5)

$$\hat{S}_\pm\vert SM \rangle \hbar \sqrt{S(S+1)-M(M\pm 1)} \vert S \, M\pm 1 \rangle$$ = (6)

$$\hat{S}^2 \hat{S}_-\hat{S}_++ \hat{S}_z^2 + \hbar \hat{S}_z$$ = (7)

$$\langle SM \vert S'M' \rangle \delta_{S,S'} \delta_{M,M'}$$ = (8)

$$\hat{S}_\rho \hat{s}_\rho \otimes \hat{1} + \hat{1} \otimes \hat{s}_\rho, \;\;\; \rho=x,y,z \; \mbox{(twee elektronen)}$$ = (9)

Opgave 6.1   Toon aan dat de twee-elektronen spinfunctie $\alpha\alpha$de quantumgetallen S=1 en M=1 heeft, d.w.z., bereken

$$\hat{S}_z\alpha\alpha$$

en

$$\hat{S}^2\alpha\alpha$$

Een S=1 functie wordt een triplet functie genoemd.

Opgave 6.2   Bereken de M=0 en M=-1 componenten van dit triplet (hint: gebruik de $\hat{S}_-$ operator). Normeer de functies.

Er bestaat ook een twee elektronen singlet functie ( $\vert 00 \rangle$). Deze functie is te schrijven als een lineaire combinatie

$$\vert 00 \rangle = c_1 \alpha\alpha + c_2 \alpha\beta + c_3 \beta\alpha + c_4 \beta\beta$$

Opgave 6.3   Bereken de expansiecoefficienten $(c_i, i=1,\ldots,4)$. Aanwijzingen:

• laat eerst de $\hat{S}_z$ operator werken op de linker en rechter kant van deze vergelijking. Welke coefficienten kun je zo vinden?
• neem nu het inproduct met de spinfunctie $\langle 10 \vert$ die je in de vorige opgave gevonden hebt
• normeer het resultaat

Maak de volgende opgaven pas als je voorgaande opdrachten af hebt:

Opgave 6.4   Bewijs dat het resultaat van de vorige opgave inderdaad een singlet (S=0) functie is.

Opgave 6.5   Bereken de matrix representatie van $\hat{S}_z$, $\hat{S}_\pm$, en vervolgens $\hat{S}^2$ in de twee-elektronen spin basis $\{\alpha\alpha,\alpha\beta,\beta\alpha,\beta\beta\}$ en bereken (met MATLAB ) de eigenwaarden en eigenvectoren van $\hat{S}^2$.

Opgave 6.6   Controleer de commutatierelatie

$$[\hat{S}_z,\hat{S}_+]= \hbar \hat{S}_+$$

numeriek.