Eigenwaarden en eigenvectoren

Het eigenwaardenprobleem

$$A {\bf u} = e {\bf u}$$ (12)

kan herschreven worden als

$$B(e) {\bf u} = 0$$ (13)

met B(e) = A - e I, waarbij I een éénheidsmatrix is. Vgl. (13) heeft alleen niet-triviale oplossingen als B(e) singulier is. Neem

$$A=\begin{pmatrix}0 & 2 & 4\\ 2 & 2 & 3\\ 4 & 3 & -1\end{pmatrix}.$$ (14)

Opgave 3.1   Maak een plot van ${\rm det}(B(e))$ voor $e\in[-5,8]$en schat de laagste eigenwaarde e₁ van de matrix A.

Opgave 3.2   Gebruik de routine fzero om een nauwkeurigere waarde voor e₁ te vinden.

Als de eigenwaarde heel erg nauwkeurig bepaald is kunnen we de eigenvector die voldoet aan

$$B(e_1) {\bf u}_1 = 0$$ (15)

vinden zoals bij opgave 2.7. Hier volgen we een andere methode. Als we aannemen dat ${\bf u}_1(1)$ niet toevallig precies 0 is, mogen we ${\bf u}_1(1)$ gelijk aan 1 nemen. Door dit in te vullen in vgl. (15) kunnen we het stelsel partitioneren

$$\begin{pmatrix}a & {\bf b}^T\\ {\bf b} & C \end{pmatrix} \beg... ...f y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ {\bf0} \end{pmatrix}.$$ (16)

Uitschrijven geeft

 

$$a + {\bf b}^T {\bf y}$$ = 0 (17)

$${\bf b} + C {\bf y} {\bf0}.$$ = (18)

Opgave 3.3   Los ${\bf y}$ op uit vlg. (18). Construeer en normeer de vector ${\bf u}_1$.

Opgave 3.4   Genereer een random vector met componenten tussen -1 en 1(x=2*rand(3,1)-1) en bereken het zogenaamde Rayleigh quotient

$$R({\bf x}) = \frac{ \langle {\bf x} \vert A \vert {\bf x} \rangle} { \langle {\bf x} \vert {\bf x} \rangle}$$ (19)

Het is eenvoudig te bewijzen dat $R({\bf x}) \geq e_1$.

Opgave 3.5 (*)   Probeer een benadering van de laagste eigenwaarde en bijbehorende eigenvector te vinden door in een loop 100 random vectoren te testen met het Rayleigh quotient. Wat is de hoek tussen de benaderde eigenvector en de ${\bf u}_1$ uit opgave 3.3 ?

Opgave 3.6   Gebruik de MATLAB routine ``eig'' om alle eigenvectoren en eigenwaarden van A te vinden.

Opgave 3.7   Gebruik de routine ``sort'' om de eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren te sorteren zodat $e_i \leq e_{i+1}$.

Opgave 3.8   Genereer een random (niet orthonormale) basis $B=[{\bf b}_1 {\bf b}_2 {\bf b}_3]$ voor ${\bf R}^3$.

De matrix A representeert een lineaire afbeelding $\hat{A}$ in de natuurlijke basis voor ${\bf R}^3$. We kunnen het eigenwaardenprobleem

$$\hat{A}\phi = e \phi$$ (20)

ook representeren in de niet orthonormale basis B door de vector $\phi$ te expanderen in deze basis

$$\phi = v_1 {\bf b}_1 + v_2 {\bf b}_2 + v_3 {\bf b}_3$$ (21)

en dit in te vullen in vlg. (20), en vervolgens inproducten te nemen met ${\bf b}_i, i=1\ldots 3$.

Opgave 3.9   Herschrijf eigenwaardenprobleem vlg. (20) in de basis B.

Het resultaat wordt een gegeneraliseerd matrix eigenwaardenprobleem genoemd.

Opgave 3.10 (*)   Gebruik de MATLAB routine ``eig'' om dit gegeneraliseerde eigenwaarden problemen op te lossen, sorteer eigenwaarden en bijbehorende eigenvectoren, en vergelijk het resultaat met de eigenwaarden gevonden in opgave 3.7.

Opgave 3.11 (*)   Transformeer de eigenvectoren van de vorige opgave naar de natuurlijke basis van ${\bf R}^3$ en vergelijk ze met de eigenvectoren gevonden in opgave 3.7.

We hebben tot nu toe gebruik gemaakt van de ingebouwde MATLAB functie det om de determinant uit te rekenen.

Opgave 3.12 (*)   Schrijf zelf een routine om de determinant van een matrix van willekeurige dimensie uit te rekenen en test je routine met een random $5\times 5$ matrix.

[ hint: gebruik de methode ``ontwikkelen naar eerste rij'' (pagina 59 wiskunde 2 & 3 dictaat) om de determinant van een $n \times n$ matrix uit te drukken in determinanten van matrices van dimensie n-1, en gebruik dat voor een $1\times 1$ matrix geldt ${\rm det}(x)=x$].