Lineaire vergelijkingen

Definieer vier kolom vectoren in R³

$${\bf a}_1=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}, {\bf a}_2=\... ...end{pmatrix}, {\bf b}=\begin{pmatrix}-3\\ 4\\ 5\end{pmatrix}.$$ (1)

Opgave 2.1   Wat is de hoek tussen ${\bf a}_1$ en ${\bf a}_2$?

Gegeven is het stelsel lineaire vergelijkingen

$$x_1 {\bf a}_1 + x_2 {\bf a}_2 + x_3 {\bf a}_3 = {\bf b}.$$ (2)

Opgave 2.2   Schrijf dit stelsel op in matrix notatie en los het op.

Genereer twee random getallen (hint: c=rand(2,1)) en bereken een nieuwe vector

$${\bf a}_3=c_1 {\bf a}_1 + c_2 {\bf a}_2$$ (3)

en de matrix

$$A=\begin{bmatrix}{\bf a}_1 & {\bf a}_2 & {\bf a}_3\end{bmatrix}.$$ (4)

Probeer nu het stelsel

$$A {\bf x} = {\bf b}$$ (5)

op te lossen.

Opgave 2.3   Wat is hier aan de hand?

Opgave 2.4   Heeft vgl. (5) nu wel of geen oplossingen?

Met wat puzzelen kunnen we dit wel oplossen. De vraag is hier: vindt het antwoord met één MATLAB statement. [ Hint: de kolommen van de matrix A zijn allemaal lineaire combinaties van ${\bf a}_1$ en ${\bf a}_2$, de vraag is dus eigenlijk, is ${\bf b}$ te schrijven als een lineare combinatie van ${\bf a}_1$ en ${\bf a}_2$? Nog anders gezegd: zijn de drie vectoren ${\bf a}_1, {\bf a}_2$, en ${\bf b}$ al dan niet lineair afhankelijk ].

Opgave 2.5   Los y₁ en y₂ op uit

$$y_1 {\bf a}_1 + y_2 {\bf a}_2 = {\bf b}.$$ (6)

[ Hint: als B een $M \times N$ matrix is met M>N en ${\bf b}$ een kolom vector met M elementen dan geeft y=B\b de vector ${\bf y}$ waarvoor $\vert B{\bf y}-{\bf b}\vert$ minimaal is (de zogenaamde ``kleinste kwadraten'' of ``least squares'' oplossing). Als $\vert B{\bf y}-{\bf b}\vert=0$ heb je dus een exacte oplossing ].

Vgl. (5) heeft dus in ieder geval één oplossing:

$${\bf x}_0= \begin{pmatrix}y_1\\ y_2\\ 0\end{pmatrix}.$$ (7)

Opgave 2.6   Controleer dit numeriek.

Er zijn zelfs oneindig veel oplossingen, die kunnen geschreven worden als

$${\bf x} = {\bf x}_0 + z {\bf x}_1,$$ (8)

waarbij ${\bf x}_1$ een niet-triviale oplossing is van

$$A {\bf x}_1 = {\bf0}.$$ (9)

Opgave 2.7   Wat is ${\bf x}_1$?

[ Hint: kijk in het dictaat wiskunde 2 en 3 voor chemici hoe je ``met de hand'' de kern van een matrix bepaalt. Hoe gaat dit nu met MATLAB? Het engelse woord voor kern is ``null-space''. Lees de help informatie van de MATLAB ``null'' functie en los het probleem op. Als je deze oplossing een beetje flauw vindt: bij vraag 3.3 zullen we het probleem oplossen met meer elementaire MATLAB commandos ].

Opgave 2.8   Bepaal de dimensie van de kern van de matrix A met één MATLAB statement.

[ Hint: het engelse woord voor ``rang'' is ``rank''. Gok de naam van de MATLAB functie die je hier nodig hebt. In de volgende opgave zullen we zien hoe zoiets uitgerekend kan worden ].

Opgave 2.9   Bepaal de dimensie van het bereik van A [ de ruimte opgespannen door de kolommen van A, rang(A)].

Opgave 2.10   Construeer een orthonormale basis voor het bereik van A.

[Hint: dit wil zeggen, bepaal twee vectoren ${\bf q}_1$ en ${\bf q}_2$waarmee alle drie de kolommen van A geschreven kunnen worden als

$${\bf a}_j = \sum_{i=1}^{2} {\bf q}_i R_{ij} ; j=1\ldots 3$$ (10)

en $\langle {\bf q}_i \vert {\bf q}_j \rangle = \delta_{i,j}$. Gebruik de MATLAB routine qr die een matrix A factoriseert als A=QR, waarbij Q een orthonormale matrix is en R een rechts bovendriehoek matrix, d.w.z. R_ij=0 voor i>j].

Opgave 2.11 (*)   Waaraan zien we nu dat de rang van A inderdaad 2 is?

Opgave 2.12   Controleer numeriek of de $3 \times 3$ matrix Q orthonormaal is.

[Hint: je moet dus alle inproducten $\langle {\bf q}_i \vert {\bf q}_j \rangle$ uitrekenen. Dit kan met één matrix-matrix vermenigvuldiging.]

Opgave 2.13   Bepaal de projectie ${\bf p}$ van de vector

$${\bf s}= \begin{pmatrix}5\\ 6\\ 7\end{pmatrix}$$ (11)

op het vlak V opgespannen door de vectoren ${\bf q}_1$ en ${\bf q}_2$uit opgave 2.10.

Opgave 2.14 (*)   Bepaal de afstand tussen ${\bf s}$ en het vlak V gebruik makend van het resultaat van de vorige opgave.

Opgave 2.15 (*)   Bereken deze afstand opnieuw, maar nu gebruik makend van de vector ${\bf q}_3$ (de derde kolom van de matrix Q).

[ Hint: maak een schetsje met de vectoren ${\bf q}_1, {\bf q}_2, {\bf q}_3, {\bf s}$ en ${\bf p}$].